この目的は、めまいやふらつきによる採血中の事故を防ぐためで症状を出さないためではないんですよね

採血が必要、だけどめまいでふらつくと事故のもと、だから寝かせましょうというロジック

採血の時に患者が気分を悪くし失神してしまうのは何故ですか？
https://kango-oshigoto.jp/hatenurse/article/170/

血管迷走神経反射の臨床的特徴
・一過性除脈により失神発作に至る心抑制型
★除脈を伴わず、一過性の血圧低下のみにより失神発作に至る血管抑制型
★除脈と血圧低下を伴う混合型
我が国では、血管抑制型や混合型による発作頻度が比較的高い。

患者の多くは、程度の差はあれ発作直前に頭重感や頭痛、複視、嘔気・嘔吐、腹痛、眼前暗黒感などの前駆症状を自覚することが多い。
循環器病の診断と治療に関するガイドライン（2011年度合同研究報告）

失神の診断・治療ガイドライン
事故防止のための環境整備・スタッフ教育～アナフィラキシー/血管迷走神経反射を含めて～
https://www.mhlw.go.jp/file/06-Seisakujouhou-10900000-Kenkoukyoku/0000167052.pdf