コエステの「読み上げ」の右上にある「シェア」で「Twitterでシェアする」を選んでそこのURLをコピー。
例えば，
"https://share.coestation.jp/B1YzPiURf"
とします。（ @yutacar さん，勝手にお借りしました。）
これがそのままmp3ファイル名に対応しているので，

"https://share.coestation.jp/audio/B1YzPiURf.mp3"
と書き換えてブラウザにペーストすると，mp3ファイルがダウンロードされます。